Какова основная тема рассказа "Бирюк"?

Основная тема - тяжелая жизнь русских крепостных людей.

Как сам лесник относится к своему прозвищу? Передает ли прозвище сущность характера Фомы?

На вопрос об имени лесник не только называет себя, но и добавляет своё прозвище – Бирюк .
По Далю "бирюк" имеет несколько значений: 1) зверь, волк; 2) нелюдимый, угрюмый человек. "Русский народ на прозвища мастер".
Наш герой - действительно нелюдимый и замкнутый. Его сделала таким жизнь: положение лесничего, ненависть мужиков, одиночество. Жена его бросила, оставила ему двух детей. Поэтому Бирюк и озлобился. Но человек, близкий к природе, любящий и берегущий каждое деревце и кустик, не может быть плохим.
Нелюдимый, скрытный, но мы понимаем, что это очень хороший человек, никому не показывающий своего лица. Сам живет в бедности, доходящей до нищеты, но оказывается отзывчивым на чужое горе, сама жизнь заставила этого человека быть грозным и нелюдимым.

Испытывает ли лесник чувство удовлетворения от своей службы? Свои рассуждения подтвердите цитатами из рассказа.

Бирюк не просто «справляет должность» лесника, а любит и понимает лес, именно здесь он чувствует себя свободным.) Пока Фома в лесу, он не лакей, не раб. Охранять лес для героя – исполнять высокий, нравственный долг.

"Должность свою справляю, - отвечал он угрюмо, - даром господский хлеб не приходится."

Что в большей степени повлияло на окончательное решение лесника?

В большей степени на окончательное решение лесника повлияло понимание истинных мотивов, заставляющих мужиков воровать. Жалость к мужику, к его семье, к его детям.

Для чего И.С. Тургенев особо подчёркивает крайнюю бедность, нищету в избе лесника?

Вся обстановка говорит о том, что трудно, безрадостно живётся обитателям этого жилища. Бедность, нищета, неустроенность выглядывает из всех углов. Интерьер и предметно-бытовые детали выступают средством раскрытия образа. Интерьер помогает представить бедную, убогую жизнь Бирюка и вызывает чувство сострадания к его судьбе. Интерьер показывает нищету лесника. Благодаря этому описанию мы глубже понимаем характер. В описании избы зашифрована социальная характеристика героя.

Найдите те места в рассказе, где говорится об отношении крестьян к леснику. Справедливо ли такое отношение? Аргументируйте свои выводы.

Крестьяне лесника боялись и ненавидели.
«…окрестные мужики боялись как огня». «Вязанки хвороста не даст утащить», «Ничем его взять нельзя: ни вином, ни деньгами; ни на какую приманку не идет». В вину ставится его честность.
Пойманный на воровстве леса мужик называет его «душегубцем окаянным», «зверем», грозит местью. Несмотря на то, что по их же словам, «не бывало на свете такого мастера своего дела», но и мастерство ставится ему в вину.
Темная грозовая ночь подарила автору возможность увидеть лесника в деле. Слышит ли охотник какие-нибудь звуки, в отличие от Бирюка? Бирюк же обладает тонким слухом и безошибочно находит дорогу в ночном лесу. Скоро будет пойман и жалкий порубщик.

Такое отношение несправедливо. -За что клянут Бирюка , угрожают? За то, что сам не украдёт и другим не дает, за то, что живет по библейской заповеди «не укради».

- Может, не стоило Бирюку враждовать с местными крестьянами, стоило быть более снисходительным? Но на мольбу порубщика Бирюк отвечает: «Говорят, нельзя. Я тоже человек подневольный: с меня взыщут». В том-то и дело, что взыщут. В комментарии к одному из изданий «Записок охотника» было написано: «Лесник, не поймавший вора, предавался суду и либо возмещал полную стоимость порубленных деревьев, либо подвергался другим формам наказания вплоть до ссылки в Сибирь».

Как вы думаете, в чём основной конфликт рассказа?

Мне кажется, что основной конфликт рассказа не внешний - столкновение между мужиком и Бирюком, а внутренний - который переживает Бирюк.
Бирюк как лесник стоит перед выбором:
Во-первых, воровать – грех, к тому воровство-преступление, лес-то барский. А если не воровать, то семье грозит нищета, погибель.
Потакать крестьянам – взыщут по всей строгости. Не давать «баловать» в лесу мужику – «добрые люди» сживут со свету.
И этот внутренний конфликт не находит разрешения. Утихла гроза в избе лесника, но за окном все льет дождь, долго еще быть ненастью. Ненастье долго будет сопровождать жизнь крестьянина. Освобождение крестьянина пока что оставалось мечтой.